상대성이론(1) - 아인슈타인 중력장 방정식, FLRW 계량, 텐서

※ 본 시리즈는 고려대학교 이종필 교수님의 일반상대성이론 교양수업을 듣고 간단히 정리한 내용입니다.

 

1905년 아인슈타인은 특수 상대성이론을 발표하고, 1915년 중력장 방정식이 포함된 일반 상대성이론을 발표합니다. 중력장 방정식은 어떤 의미를 갖고, 상대성이론을 어떻게 이해해야 하는지 차근차근 알아봅시다.

 

1. 아인슈타인의 중력장 방정식

중력장 방정식

이때, 

: 시공간, 아인슈타인 텐서

: 시공간의 에너지 분포

 

 

중력장 방정식은 시공간의 에너지 분포에 따라 시공간의 뒤틀림을 표현하는 식입니다. 시공간의 에너지 분포에 따라 시공간의 기하학적인 구조가 변화하고, 이 뒤틀린 시공간의 최단경로를 따라 물체가 움직입니다. 이때의 뒤틀린 시공간의 최단경로는 측지선 방정식으로 계산할 수 있습니다.

 

측지선 방정식

 

2. 로버트슨-워커 계량 식은 무엇인가요?

 

정식 명칭은 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric)입니다. FLRW 우주론에서 균질하고 등방적인 시공간이라는 가정을 만족하는 시공간의 수학적인 구조를 구하기 위한 측량 텐서(metric tensor)입니다. 식으로는 아래와 같이 표현됩니다.

 

FLRW metric tensor

 

여기서,

k는 곡률에 대한 상수로 -1일 떄는 음의 곡률, 0일 때는 평평한 공간, 1일 때 양의 곡률을 나타냅니다.

: 시간에 따른 우주의 상대적인 크기를 나타냅니다.

 

FLRW 우주론에서, 아인슈타인의 중력장 방정식의 아인슈타인 텐서는 이 로버트슨-워커 측량의 식을 통하여 구할 수 있습니다.

 

 

3. 텐서와 벡터의 차이점은 무엇인가요?

 

크기만을 가지고 있는 값을 스칼라라고 합니다. 크기와 방향을 함께 가지고 있는 값을 벡터라고 합니다. 벡터는 성분이 있는 양입니다. 텐서는 벡터를 일반화한 것으로 성분에 대한 성분이 있는 양입니다. 텐서는 기하학적 구조를 좌표 독립적으로 기술하기 위한 표기법입니다.

 

 

4. 아인슈타인 텐서

아인슈타인 텐서는 시공간의 기하학적 구조를 나타내는 양입니다. 

측지선 방정식으로부터 크리스토펠 기호를 구하여 굽은 시공간에 대한 정보를 구하고, 이를 통해 리만 텐서를 정의할 수 있고, 리치 곡률 텐서와 리치 스칼라를 정의할 수 있습니다.

 

리치 곡률 텐서

리치 스칼라

 

 

▼ 상대성이론 공부하기

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상대성이론(3) - 로렌츠변환, 핵분열, 시간팽창과 길이수축

상대성이론(4) - 쌍둥이모순, 도플러효과, 중력장 방정식에서 만유인력

상대성이론(5) - 아인슈타인 우주론, 프리드만 방정식, FLRW 우주론