[제어공학] 기본신호, 연속시스템, 디지털 신호 등 신호와 시스템 개념정리

□ 기본 신호

기본 신호에는 단위 계단 함수, 단위 임펄스 함수가 있습니다.

 

 ○ 단위 계단 함수

단위계단함수 u(t)는 t가 0 이상일 때 1의 값을 갖고, 0 미만일 때 0의 값을 갖는 함수입니다. 헤비사이드 함수라고 하기도 하며, 이상적인 스위치의 동작이라고 할 수 있습니다.

 

단위계단함수

 

단위계단함수 그래프

 

 ○ 단위 임펄스 함수

단위임펄스함수 δ(t)는 특정 시간에만 무한대의 값을 갖고 그 외의 값은 모두 0인 함수입니다. 디랙 델타 함수라고도 합니다. 이 함수의 면적은 1로 일정합니다.

 

단위 임펄스 함수

 

단위 임펄스 함수 그래프

 

□ 에너지 신호와 전력 신호

에너지신호란 에너지가 유한한 값을 갖고, 평균전력은 0이 되는 신호를 말합니다. 디지털 통신에 사용되며, 비주기신호, 결정신호입니다. 신호의 크기를 에너지로 표현하기에 에너지신호라고 부릅니다.

 

전력신호란 에너지가 무한한 값을 갖고, 평균전력은 유한한 값을 갖는 신호를 말합니다. 아날로그 통신에서 사용하며, 주기신호, 랜덤신호입니다. 신호의 크기를 전력으로 표시하여 전력신호라고 부릅니다.

 

이 둘을 구분하는 이유는 수학적인 계산과 해석의 편리함 때문입니다. 실제 시스템에서 신호는 항상 유한한 에너지를 갖지만 지속적으로 존재하는 에너지를 갖는 주기신호나 랜덤신호를 표현하기 위해서는 전력신호를 통해 이상화하여 계산하는 것이 편리합니다. 또한 비주기신호, 결정신호의 경우에도 에너지의 값은 유한하지만 무한대의 시간 범위에 대해 평균전력은 0이 되는 신호로 계산하는 것이 편리합니다.

 

 

□ 연속시스템 종류

 ○ 시불변 시스템 : 시스템의 특성이 시간에 영향을 받지 않습니다. "y(t, t0)=y(t-t0)"로 입력되는 시간이 변화하여도 시스템의 특성 자체는 변하지 않습니다.

 ○ 시변 시스템 : 시스템의 특성이 시간에 따라 변화합니다. "y(t, t0)≠y(t-t0)"로 같은 입력이어도 입력되는 시간에 따라 출력이 변화합니다. "y(t)=K(t)x(t)" 와 같이 표현할 수 있습니다.

 

 ○ 선형 시스템 : 선형(linear)이란 비례성과 중첩의 원리가 성립하는 것을 말합니다. 선형시스템은 y(t)=Kx(t)로 간단히 표현할 수 있습니다.

 ○ 비선형 시스템 : 선형 특성을 만족하지 않는 시스템입니다.

 

 ○ 인과 시스템 : 시간적인 선후관계에서 입력이 우선하며, 출력은 입력시간과 동일하거나 그 이후에 나타나는 것을 말합니다.

 ○ 비인과 시스템 : 시스템에 신호가 입력될 때, 시스템 출력은 그 입력시간 이전에 발생하는 비현실적인 시스템입니다.

 

 ○ 불안정 시스템 : 출력이 일정치 않고 불안정한 시스템을 말합니다. BIBO(유한입력, 유한출력) 안정도 기준으로 불안정 시스템은 유한한 입력이나 출력이 아닌 무한으로 발산하는 입력 혹은 출력을 갖는 시스템입니다.

 ○ 안정 시스템 : BIBO 안정도 기준으로 입력과 출력이 유한한 값을 갖는 시스템입니다.

 

□ 인과 선형 시불변 시스템

인과 선형 시불변 시스템(인과 LTI 시스템)은 인과 시스템, 선형 시스템, 시불변 시스템의 성질을 만족해야 합니다. 인과시스템에서 출력은 현재 혹은 과거의 입력에 의해서만 생깁니다. 선형 시불변 시스템의 인과성을 판단하기 위한 방법은 해당 시스템에 직접 입력을 넣어보는 것입니다.

 

convolution(합성곱, 컨볼루션)을 통해 임펄스 신호를 입력하였을 때, 시스템의 임펄스 응답을 구하면

 

시스템의 임펄스 응답

 

입니다. 연속신호의 경우 인과성을 만족하기 위해서는 τ>t인 경우에 출력 y(t)는 입력 x(τ)와 무관해야 하며, 이를 식으로 표현하면 "t-τ<0, h(t-τ)=0" 입니다. 따라서 연속신호에 대해 τ=0일 때, t<0, h(t)=0를 만족해야 합니다. 이산 신호에 대해서는 n<0, h[n]=0을 만족해야 합니다.

 

 

□ 디지털 신호의 생성과정

디지털신호의 생성은 크게 표본화, 양자화, 부호와의 3가지 과정을 거칩니다.

 

우선, 주어진 아날로그 연속신호를 표본화(샘플링, sampling)합니다. 표본화는 일정시간 간격을 가지고 연속신호로부터 샘플 값을 취하는 것입니다. 이때의 시간간격을 표본화율(sampling rate)라고 부릅니다.

 

두 번째는 표본화를 통해 얻은 이산신호 값을 양자화(quantization)하는 것입니다. 양자화 과정에서 이산신호는 이산시간과 이산값을 갖는 신호로 변환됩니다. 연속값과 이산값 사이에는 오차가 발생할 수 밖에 없습니다. 이를 양자화 오차라고 하며, 이를 줄이기 위해서는 양자화 비트수를 늘려 이산값을 구분하는 범위를 좁혀주어야 합니다.

 

마지막으로 부호화는 양자화를 거친 이진신호를 하나의 이진수에 대응시키는 과정입니다. 양자화 비트수가 클수록 대응되는 이진수의 수가 늘어나므로 부호화를 거쳐 만들어지는 디지털 신호의 정확도도 더 높아지고, 크기(용량) 또한 커집니다.

 

이와 같이 3가지 과정을 거치면서 연속신호는 이산신호로, 마지막에는 0과 1로 구성된 디지털신호로 변환됩니다.

 

 

□ 오일러 공식 활용 - 정현파 신호를 지수함수로 표현하기

오일러 공식은 아래와 같습니다.

 

오일러 식

 

위의 오일러의 공식을 이용하면 정현파 신호를 복소지수 함수의 형태로 표현할 수 있습니다. 정현파, 즉 코사인 함수를 복소지수 함수로 표현하면,

 

복소지수 함수로 표현된 정현파 함수

 

위와 같습니다. 마찬가지로 위상차를 갖는 정현파 신호를 지수함수로 표현하면

 

지수함수로 표현된 정현파 함수

 

이렇게 표현할 수 있습니다.

 

 

□ 시간 반전연산과 시간 척도 조절 연산

 ○ 시간 반전연산 : 시간 반전연산은 y축을 중심으로 신호를 대칭시키는 연산을 말합니다. x(t)를 x(-t)로 바꾸는 연산입니다.

 ○ 시간 척도 조절 연산 : 신호의 크기는 유지하면서 시간축을 따라서 길이를 증감시키는 연산입니다. 압축 척도 조절 연산과 확장 척도 조절 연산이 있습니다.