[전기공학] 제어공학 레포트(3) 제어시스템의 설계 - 특성방정식의 근궤적 그리기, 근궤적법

2차 제에시스템의 시간응답 특성에 대해서 알아보았다. 이번에는 근궤적법을 활용하여 해당 시스템의 특성방정식 근궤적을 그려보자.

 

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[전기공학] 제어공학 레포트(2) 제어시스템의 설계 - 2차 제어시스템의 시간응답 특성

 

 

제어시스템 예시

 

1. 실수축과 만나는 점

 

위 시스템에서의 이득값을 K라고 하였을 떄의 이 제어시스템의 근궤적을 그려보자. 이 때, 특성방정식은 아래와 같다.

 

특성방정식

 

개루프 전달함수의 영점은 존재하지 않는다. 극점은 -1. -3. -10 으로 극점수가 3개다. 따라서 근궤적의 분기수 또한 3개가 된다. 따라서 실수축 위에 근궤적이 존재하는 부분은 아래와 같다.

 

근궤적 범위

 

극점이 3개인데 영점은 0개이므로 3개의 무한원점이 존재한다. 그리고 그 점근선을 구하면,

 

 

 

위와 같다. 점근선은 실수축의 -14/3 점에서 각각 60도, 180도, 300도 방향을 향하게 된다. 다음으로 근의 궤적이 실수축과 만나는 점을 구하면,

 

 

이고, 이를 정리하면 다음과 같다.

 

 

해를 구하면 근궤적의 접점을 알 수 있다.

 

근궤적의 접점

 

이 중에서 -7.395는 근궤적의 실수축 위 존재 범위와 맞지 않는다. 위에서 근궤적 범위 식을 다시 보자. -1과 -3 사이거나 -10 이하인 값이어야 한다. 따라서 실수축과 만나는 점(실수축을 이탈하는 점)은 s=-1.938 이다.

 

 

2. 근궤적 그리기

 

허수축과 만나는 점은 Routh 표를 통해 구할 수 있다. 이득값이 K일 때의 Routh 표를 구하면 아래와 같다.

 

Routh 표

 

표에서 임계안정을 만족하는 K의 값은 572 다. K=572일 때의 특성방정식은 아래와 같다.

 

K=572일 때 특성방정식

 

위 특성방정식을 인수분해 해서 근의 값을 구하면,

 

특성방정식의 근

 

자, 이제 주어진 조건으로 근궤적을 그리면 아래 모습과 같다.

 

근궤적

 

근궤적을 그리는데 사용된 조건을 다시 정리해보자.

 

1) 특성방정식의 근

 

2) 근궤적의 범위

 

3) 근궤적의 접점

 

4) 점근선의 접점과 각도

 

 

모두 근궤적 그림에 잘 표현되어 있음을 확인할 수 있다.

 

이득값이 K일 때의 근궤적과 조건들을 산출하였으니 다음 글에서는 백분율 오버슈트를 20%로 지정했을 때의 이득값 K가 몇이어야 하는지를 계산해보도록 하자.

 

 

 

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[전기공학] 제어공학 레포트(4) 제어시스템의 설계 - 이득값(K값) 계산, 적분제어기를 통한 정상상